$lim_{xto 0}(e^x^2-1-x^2+5x^4)/(sin(2x^4)+x^5)$.

A cura di: Francesco Speciale

Svolgimento:
Ricordando che
$e^x=1+x+x^2/(2!)+o(x^2)$
$sinx=x+o(x^2)$
e applicando queste formule al caso nostro otteniamo
$e^x^2=1+x^2+x^4/(2!)+o(x^4)$
$sin(2x^4)=2x^4+o(x^4)$.
Inserendo queste formule nel limite iniziale si ha
$lim_{xto 0}(1+x^2+x^4/(2!)+o(x^4)-1-x^2+5x^4)/(2x^4+o(x^4)+x^5)$
ricordando che gli infinitesimi di ordine superiore possono esere trascurati
in quanto vanno a $0$ più rapidamente [$o(x^5)$ va a $0$ più rapidamente di$x^4$ ],
il limite diventa
$lim_{xto 0}(11)^(x^4/2)/(2x^4)=(11)/4$.