A cura di: Stefano Sannella
Si risolva il seguente limite
$lim_(xto pi/2){[cos(x/2)-sin(x/2)]*tanx}$
La forma è chiaramente indeterminata.
Per valori di $x$ che tendono a $pi/2$, il valore di $tanx$ va all'infinito, mentre la parentesi tonda tende a $0$.
Per verificarlo basta sostituire i valori.
Volendo trovare il limite, dobbiamo scriverlo di modo che non ci imbattiamo in una forma indeterminata.
Procediamo
$[cos(x/2)-sin(x/2)]*tanx=[cos(x/2)-sin(x/2)]*sinx/cosx$
Portando tutto ad argomento $x/2$
$[cos(x/2)-sin(x/2)]*sinx/cosx=[cos(x/2)-sin(x/2)]*(2sin(x/2)cos(x/2))/(cos^2(x/2)-sin^2(x/2))=$
$=[cos(x/2)-sin(x/2)]*(2sin(x/2)cos(x/2))/((cos(x/2)-sin(x/2))*(sin(x/2)+cos(x/2))$
Semplificando numeratore e denominatore otteniamo
$(2sin(x/2)cos(x/2))/((sin(x/2)+cos(x/2))$
A questo punto possiamo procedere con la sostituzione del valore $pi/2$, ottenendo
$(2sin(pi/4)cos(pi/4))/(sin(pi/4)+cos(pi/4))=(2*1/sqrt2*1/sqrt2)/(1/sqrt2+1/sqrt2)=1/(2/sqrt2)=sqrt2/2$
Il limite è dunque $sqrt2/2$
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