Limite $lim_(xto pi/2)(sin(x/2)-cos(x/2))/(1-sinx)$

A cura di: Stefano Sannella

Si calcoli il seguente limite

$lim_(xto pi/2)(sin(x/2)-cos(x/2))/(1-sinx)$

La forma è indeterminata, infatti sostituendo il valore di $pi/2$ otteniamo

$f(pi/4)=(sin(pi/4)-cos(pi/2))/(1-sin(pi/2))=(sqrt2/2-sqrt2/2)/(1-1)=0/0$

Per condurre la forma da indeterminata a determinata, occorre fare alcune modifiche.

Un'idea è quella di portare tutte le funzioni trigonometriche allo stesso argomento (arco) $x/2$

Sapendo che $sinx=2sin(x/2)cos(x/2)$

scriviamo

$lim_(xto pi/2)(sin(x/2)-cos(x/2))/(1-2sin(x/2)cos(x/2))$

Ora possiamo chiamare in soccorso l'identità fondamentale

$1=cos^2alpha+sin^2alpha$ notando che c'è un $1$ al denominatore. Proviamo a sostituire

$lim_(xto pi/2)(sin(x/2)-cos(x/2))/(cos^2(x/2)+sin^2(x/2)-2sin(x/2)cos(x/2))$

E' chiaramente visibile un quadrato binomio al denominatore

$lim_(xto pi/2)(sin(x/2)-cos(x/2))/(sin(x/2)-cos(x/2))^2$

Semplificando

$lim_(xto pi/2)1/(sin(x/2)-cos(x/2)$

A questo punto possiamo procedere con la sostituzione, tenendo conto che stiamo lavorando con $x/2$ e quindi sapendo che se

$x-> pi/2$

allora

$x/2->pi/4$

Sostituendo vediamo che il limite cercato corrisponde a $oo$ dal momento che il numeratore c'è un numero, mentre al denominatore c'è un valore che di assotiglia sempre più tendendo a zero.

In particolare, abbiamo un $+oo$ se il valore tende a $pi/2$ da destra, dato che in questo caso il seno è sempre un po' più grande del coseno e la differenza

$sin(x/2)-cos(x/2)$

è un numero piccolissimo, ma positivo.

Viceversa, se $x$ tende tende a $pi/2$ da sinistra, la differenza di sopra darà un valore piccolo è negativo, di fatto il rapporto genererebbe un $-oo$

FINE