A cura di: Gianni Sammito
Calcolare
$lim_{x to 0} frac{e^{"tg"^3(x)} – 1}{x (cos(x) – e^{x^2})}$
Il limite si può riscrivere in questa forma
$lim_{x to 0} frac{e^{"tg"^3(x)} – 1}{"tg"^3(x)} frac{"tg"^3(x)}{x} frac{1}{cos(x) – e^{x^2}} = lim_{x to 0} frac{e^{"tg"^3(x)} – 1}{"tg"^3(x)} frac{"tg"^3(x)}{x^3} frac{x^2}{cos(x) – e^{x^2}}$
Ricordando gli sviluppi di Taylor del coseno e dell'esponenziale:
$e^{t} = 1 + t + frac{t^2}{2} + o(t^2)$
$cos(t) = 1 – frac{t^2}{2} + o(t^3)$
il limite diventa
$lim_{x to 0} frac{e^{"tg"^3(x)} – 1}{"tg"^3(x)} frac{"tg"^3(x)}{x^3} frac{x^2}{1 – frac{x^2}{2} + o(x^3) – 1 – x^2 + o(x^3) } = $
$ = lim_{x to 0} frac{e^{"tg"^3(x)} – 1}{"tg"^3(x)} frac{"tg"^3(x)}{x^3} frac{x^2}{ – frac{3}{2} x^2 + o(x^3) } = lim_{x to 0} frac{e^{"tg"^3(x)} – 1}{"tg"^3(x)} frac{"tg"^3(x)}{x^3} frac{1}{ – frac{3}{2} + o(x)}$
Ricordando i limiti notevoli
$lim_{t to 0} frac{e^t – 1}{t} = 1$
$lim_{t to 0} frac{"tg"(t)}{t} = 1$
e osservando che per $x to 0$ risulta $"tg"(x) to 0$ e $o(x) to 0$ si ottiene
$lim_{x to 0} frac{e^{"tg"^3(x)} – 1}{"tg"^3(x)} frac{"tg"^3(x)}{x^3} frac{1}{ – frac{3}{2} + o(x)} = 1 cdot 1 cdot (-frac{2}{3}) = – frac{2}{3}$
FINE
- Esercizi sui Limiti
- Matematica - Esercizi sui Limiti
