$ln(x+1)+ln(x-2)=2ln(x-1)-ln(x^2-1)$

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva

$ln(x+1)+ln(x-2)=2ln(x-1)-ln(x^2-1)$

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Innanzitutto imponiamo che gli argomenti siano positivi, per l’esistenza del logaritmo

$x+1>0$

$x-2>0$

$x-1>0$

$x^2-1>0$

il risultato che soddisfa tutte le precedenti disequazioni è $x>2$

Ricordiamo alcune fondamentali proprietà dei logaritmi

$log_c(a)+log_c(b)=log_c(ab)$

$log_c(a)-log_c(b)=log_c(a/b)$

$nloga=log(a^n)$

Applicando la prima regola al primo membro, e la terza al primo termine del secondo membro, abbiamo

$ln((x+1)(x-2))=ln(x-1)^2-ln(x^2-1)$

applicando la seconda regola al secondo membro

$ln((x+1)(x-2))=ln((x-1)^2/(x^2-1))$

a questo punto, affinchè i logaritmi dei due membri siano uguali, anche i loro argomenti devono essere tali.

Pertanto

$(x+1)(x-2)=(x-1)^2/(x^2-1)$

che dopo qualche conto restituisce

$x^3-4x-1=0$

Questa equazione non è risolubile usando il classico Ruffini, poichè non è nullo nè $p(1)$ nè $p(-1)$

Ad ogni modo presenta tre soluzioni che riportiamo approssimate

$x_1=2,11…$

$x_2=-0,25…$

$x_3=-1,86…$ 

Solo $x_1$ è accettabile perchè risulta $x_1>2$

 

FINE