$logsinx+logsin2x=logcosx+1$

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva l’equazione

$logsinx+logsin2x=logcosx+1$

Il logaritmo è da intendersi in base 2

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La prima cosa da fare è definire il dominio.

In particolare, la funzione logaritmo richiede che l’argomento sia positivo

${(sinx>0),(sin2x>0),(cosx>0):}$

${(0<x<pi+kpi),(0<x<pi/2+kpi/2),(0<x<pi/2+2kp U 3/2pi+2kpi<x<2pi+2kpi):}$

Queste tre disequazioni sono soddisfatte contamporaneamente se il valore di $x$ risulta essere

$2kpi<x<pi/2+2kpi$

Basta riportare su una retta i risultati delle tre disequazioni, per pervenire al risultato finale.

Quanto all’equazione logaritmica

$logsinx+logsin2x=logcosx+1$

Applichiamo la proprietà del logaritmo secondo la quale

$loga+logb=log(ab)$

E otteniamo

$logsinxsin2x=logcosx+log2$

$log(sinx*sin2x)$=log(2*cosx)$

Affinchè i due membri risultino uguali, bisogna che si eguaglino gli argomenti dei due logaritmi

$sinx*sin2x$=2*cosx$

Sviluppando

$sinx*2*sinxcosx-2cosx=0$

Dividendo per $2$ e raccogliendo $cosx$

$cosx(sin^2x-1)=0$

Per la legge d’annullamento del prodotto abbiamo

$cosx=0$

soddisfatta per

$x=pi/2+kpi$

ma le condizioni imposte non coinvolgono tale valore (d’altra parte nell’equazione iniziale vediamo bene che un argomento è proprio $cosx$ che quindi non può annullarsi, in quanto non ha senso $log0$)

L’altro fattore su cui applicare l’annullamento del prodotto è $sin^2x-1$

$sin^2x-1=0$

$(sinx-1)(sinx+1)=0$

soddisfatta per

$sinx=1$ ovvero

$x=pi/2+2kpi$

Oppure soddisfatta per

$sinx=-1$ ovvero per

$x=3/2pi+2kpi$

Si vede bene che nemmeno queste due soluzioni sono accettabili.

L’equazione non ammette soluzioni accettabili.

FINE