A cura di: Stefano Sannella
Nel triangolo $ABC$ rettangolo in $B$, la bisettrice dell’angolo $hat{A}$ interseca $BC$ nel punto $D$ distante $3$ da $B$ e $5$ da $C$.
Sul prolungamento di $AD$ si prende dalla parte di $D$ il punto $E$ distante $25$ da $C$
Sapendo che la perpendicolare in $C$ ad $AC$ è bisettrice dell’angolo $hat{DCE}$, determina il perimetro del triangolo $CDE$.
Si pone $bar{AB}=x$: essendo $bar{BC}=bar{BD}+bar{CD}=3+5=8$ si ha, per il Teorema di Pitagora, che $bar{AC}=sqrt{64+x^2}$.
E’ chiaro ed evidente che i triangoli $ABD$ e $ACF$ sono simili e il triangolo $CDF$ è isoscele su $DF$, ragione per cui vale la seguente proporzione: $bar{CF} : bar{BD} = bar{AC} : bar{AB}$.
Dalla predetta proporzione segue che $5 : 3 = sqrt{64 + x^2} : x => 3*sqrt{64+x^2}=5x => x=6$. Dunque, $bar{AB}=6$ e, conseguentemente, $bar{AC}=10$.
Con il Teorema di Pitagora nei triangoli rettangoli $ABD$ e $ACF$ si trova che $bar{AD}=3sqrt{5}$ e $bar{AF}=5sqrt{5}$: da ciò segue che $bar{DF}=2sqrt{5}$.
Con il Teorema della bisettrice dell’angolo interno, applicato al triangolo $CDE$ si trova che $bar{EF}=10sqrt{5}$.
Finalmente, $2p(CDE)=bar{CD} + bar{CE} + bar{DE}= 5 + 25 + (10sqrt{5} + 2sqrt{5})=30 + 12sqrt{5}$.
FINE
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