La Piramide
In questo contenuto ci occupiamo della Piramide, un poliedro che ha per base un poligono e come facce dei triangoli: tali triangoli hanno come base uno spigolo della base della piramide ed hanno in comune il vertice della piramide.
Come per il prisma, anche le piramidi si suddividono in due tipi:
- Piramide retta
- Piramide regolare
Piramide retta
Si definisce piramide retta} una piramide il cui poligono di base può essere circoscritto ad una circonferenza e dunque, il piede dell’altezza della piramide coincide con il centro della circonferenza.
Piramide regolare
Si definisce piramide regolare una piramide retta che ha come base un poligono regolare.
Formule Piramide
Una piramide è caratterizzata da due parti importanti:
- Apotema (a): è l’altezza di uno dei triangoli che compongono la superficie laterale (vedi segmento rosso in figura).
- Altezza (h): è il segmento che parte dal vertice della piramide e scende perpendicolarmente sul piano in cui giace la base (vedi segmento blu in figura).
Indicando con $2p$ il perimetro di base, $a$ l’apotema, $r$ il raggio della circonferenza inscritta nella base e $h$ l’altezza della piramide si hanno le seguenti formule.
Formule per piramide
Di seguito alcune formule che riguardano in generale tutte i tipo di piramide.
- Volume: $V=S_{base}cdotfrac{h}{3}$
- Superficie totale: $S_{tot}=S_{lat}+S_{base}$
Formule per piramide retta
Di seguito alcune formule che riguardano la piramide retta:
- Superficie laterale: $S_{lat}=2pcdotfrac{a}{2}=S_{tot}-S_{base}$
- Superficie di base: $S_{base}=frac{3V}{h}$
- Perimetro di base: $2p=2frac{S_{lat}}{a}=2frac{S_{base}}{r}$
- Altezza: $h=frac{3V}{S_{base}}$
- Apotema: $a=2frac{S_{lat}}{2p}$
- Raggio: $r=2frac{S_{base}}{2p}$
Formule per piramide regolare
Di seguito alcune formule che riguardano la piramide regolare:
- Altezza: $h=sqrt{a^2-r^2}$
- Apotema: $a=sqrt{h^2+r^2}$
- Raggio: $r=sqrt{a^2-h^2}$
Esempio di piramide regolare:
L’apotema e l’altezza di una piramide regolare quadrangolare misurano rispettivamente $15.6 cm$ e $14.4 cm$. Calcola il perimetro e l’area della base della piramide.
I dati del problema:
- $a=15.6cm$
- $h=14.4cm$
- $2p=?quad S_{base}=?$
Calcoliamo il raggio della circonferenza inscritta nella base: $$ r=sqrt{a^2-h^2}=r=sqrt{15.6^2-14.4^2}=r=sqrt{243.36-207.36}=sqrt{36}=6cm $$ e il lato della base quadrata: $$ l=rcdot 2=6cdot 2=12cm $$ Il perimetro, dunque, sarà: $$ 2p=lcdot 4=12cdot 4=48cm $$ e la superficie di base: $$ S_{base}=l^2=12^2=144cm^2 $$
Esempio di piramide retta:
Una piramide avente per base un rettangolo ha l’altezza che cade nel punto d’incontro delle diagonali ed è i $6/5$ della dimensione minore del rettangolo. Sapendo che la somma e la differenza delle due dimensioni di base sono rispettivamente $126 cm$ e $66 cm$, calcola l’area della superficie totale della piramide.
Indicando con $h$ l’altezza della piramide, $l_1$ il lato minore del rettangolo, $l_2$ il lato maggiore del rettangolo, $s$ la somma delle due dimensioni e $d$ la loro differenza, i dati del problema sono:
- $h=frac{6}{5}cdot l_1$
- $s=126cm$
- $d=66cm$
- $S_{tot}=?$
Sottraiamo $d$ da $s$ per eliminare la differenza tra le due dimensioni: $$ s-d=126-66= 60cm $$ Poi, dividiamo a metà il risultato per ottenere una delle due dimensioni (in questo caso il lato minore): $$ l_1=60:2= 30cm $$ Se al lato minore aggiungiamo la differenza, troviamo il lato maggiore $l_2$: $$ l_2=30+66= 96cm $$ A questo punto, avendo base e altezza del rettangolo, possiamo trovarci la lunghezza della diagonale $d$ applicando il teorema di Pitagora: $$ d=sqrt{l_2^2+l_1^2}=sqrt{96^2+30^2}=sqrt{9216+900}=sqrt{10116}=100.57cm $$ $$ h=frac{6}{5}cdot l_1=frac{6}{5}cdot 30=36cm $$ L’area di base è: $$ S_{base}=l_1cdot l_2=30cdot 96=2880cm^2 $$ Calcoliamo apotema e perimetro: $$ a=sqrt{h^2+bigg(frac{l_2}{2}bigg)^2}= sqrt{36^2+bigg(frac{96}{2}bigg)^2}=sqrt{1296+48^2}sqrt{1296+2304}=sqrt{3600}=60cm $$ $$ 2p=2(l_1+l_2)=2(30+96)=2cdot 126=252cm $$ Finalmente possiamo calcolare la superficie laterale: $$ S_{lat}=frac{2pcdot a}{2}=frac{252cdot 60}{2}=7560cm^2 $$ Infine, l’area totale sarà: $$ S_{tot}=S_{base}+S_{lat}=2880+7560=10440cm^2 $$
Esercizi sulle piramidi rette e regolari
- Un prisma e una piramide regolare quadrangolare hanno la base in comune; sapendo che l’area della superficie laterale della piramide è $1125 dm^2$, che lo spigolo di base è $5/8$ dell’apotema e che l’altezza del prisma è il quadruplo di quella dello spigolo di base, calcola l’area della superficie laterale del prisma.
- Una piramide quadrangolare regolare ha l’area della superficie totale di $800cm^2$; sapendo che l’area di base è $8/17$ dell’area della superficie laterale, calcola il volume.
- Una piramide a base ottagonale ha l’area laterale di $2288cm^2$ e l’apotema di $26 cm$. Calcola il lato di base.
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