A cura di: Gianni Sammito
Risolvere il seguente problema di Cauchy:
${(y' = frac{y}{x} (frac{1}{2log(frac{y}{x})} +1)),(y(1) = e):}$
Le ipotesi del teorema di esistenza e unicità sono soddisfatte, pertanto la soluzione al problema di Cauchy esiste ed è unica. Ponendo $frac{y}{x} = z$ si ottiene
$y = x cdot z$
da cui
$y' = z + x cdot z'$
Sostituendo questi valori nell'equazione differenziale si ottiene
$z + x z' = z (frac{1}{2 log(z)} + 1)$
$z + x z' = frac{z}{2 log(z)} + z$
$x z' = frac{z}{2log(z)}$
Si nota che $z = 0$ non è soluzione dell'equazione. Dividendo ambo i mebri per $x$, e moltiplicando per $frac{log(z)}{z}$ si ottiene
$frac{2 log(z)}{z} z' = frac{1}{x}$
Integrando ambo i mebri
$int frac{2 log(z)}{z} z' dx = int frac{1}{x} dx$
$int frac{2 log(z)}{z} dz = int frac{1}{x} dx$
da cui
$log^2(z) = log|x| + c$
$log(z) = pm sqrt{log|x| + c}$
$z = e^{pm sqrt{log|x| + c}}$
Ricordando la sostituzione fatta inizialmente si trova
$frac{y}{x} = e^{pm sqrt{log|x| + c}}$
ovvero
$y = x cdot e^{pm sqrt{log|x| + c}}$
Imponendo la condizione iniziale si trova
$e = e^{pm sqrt{c}}$
Si nota che la soluzione $y = x cdot e^{- sqrt{log|x| + c}}$ deve essere scartata, e che il problema di Cauchy è soddisfattoper $c=1$. Pertanto la soluzione del problema di Cauchy è
$y = x cdot e^{sqrt{log|x| + 1}}$
FINE
- Equazioni differenziali, esp/log
- Matematica - Equazioni differenziali, esp/log
