Quadrilateri notevoli

Si chiama quadrilatero un poligono composto da 4 lati. La somma degli angoli interni è pari a $360^°$.

I quadrilateri notevoli più comuni nella geometria sono:

– Rettangolo

– Parallelogramma

– Rombo

– Quadrato

– Trapezio

Quadrilateri notevoli: Rettangolo

Il rettangolo è un quadrilatero con quattro angoli uguali ($90^°$ ciascuno) e i lati a due a due congruenti.

Di seguito l'elenco delle formule del rettangolo:

• Perimetro con base e altezza noti: $P=2b+2h$
• Base con perimetro e altezza noti: $b=frac{P-2h}{2}$
• Altezza con perimetro e base noti: $h=frac{P-2b}{2}$
• Diagonale con base e altezza noti: $d=sqrt{b^2+h^2}$
• Base con diagonale e altezza noti: $b=sqrt{d^2-h^2}$
• Altezza con diagonale e base noti: $b=sqrt{d^2-b^2}$
• Area con base e altezza noti: $A=bcdot h$
• Base con area e altezza noti: $b=frac{A}{h}$
• Altezza con area e base noti: $b=frac{A}{b}$

Quadrilateri notevoli: Parallelogramma

Il parallelogramma è un quadrilatero con quattro angoli uguali (ma non retti come nel caso del rettangolo) e i lati a due a due congruenti. Inoltre, esso presenta due diagonali, una minore $d_1$ e una maggiore $d_2$. Infine, indichiamo con $l$, il lato obliquo.

Di seguito l'elenco delle formule del parallelogramma:

• Perimetro con base e lato obliquo noti: $P=2b+2l$
• Base con perimetro e lato obliquo noti: $b=frac{P-2l}{2}$
• Lato obliquo con perimetro e base noti: $l=frac{P-2b}{2}$
• Area con base e altezza noti: $A=bcdot h$
• Base con area e altezza noti: $b=frac{A}{h}$
• Altezza con area e base noti: $b=frac{A}{b}$

Quadrilateri notevoli: Quadrato

Il quadrato è un quadrilatero con tutti i lati uguali e gli angoli uguali (angoli retti). Indichiamo con $l$, il lato e con $d$ la diagonale del quadrato.

Di seguito l'elenco delle formule del quadrato:

• Perimetro con lato noto: $P=4cdot l$
• Lato con perimetro noto: $l=frac{P}{4}$
• Area con lato noto: $A=l^2$
• Area con diagonale nota: $A=frac{d^2}{2}$
• Diagonale con lato noto: $d=lsqrt{2}$
• Lato con diagonale nota: $l=frac{d}{sqrt{2}}$
• Diagonale con area nota: $d=sqrt{2A}$

Quadrilateri notevoli: Rombo

Il rombo è un quadrilatero con tutti i lati uguali e gli angoli a due a due congruenti. Inoltre, esso presenta due diagonali, una minore $d_1$ e una maggiore $d_2$. Infine, indichiamo con $l$, il lato.

Di seguito l'elenco delle formule del rombo:

• Perimetro con lato noto: $P=4cdot l$
• Lato con perimetro noto: $l=frac{P}{4}$
• Area con diagonali note: $A=frac{d_1cdot d_2}{2}$
• Diagonale minore con area e diagonale maggiore note: $d_1=frac{2A}{d_2}$
• Diagonale maggiore con area e diagonale minore note: $d_2=frac{2A}{d_1}$
• Lato con diagonali note: $l=sqrt{left(frac{d_1}{2}right)^2+left(frac{d_2}{2}right)^2}$
• Diagonale minore con lato e diagonale maggiore noti: $d_1=sqrt{l^2-left(frac{d_2}{2}right)^2}$
• Diagonale maggiore con lato e diagonale minore noti: $d_2=sqrt{l^2-left(frac{d_1}{2}right)^2}$

Quadrilateri notevoli: Trapezio

Il trapezio è un quadrilatero i cui elementi principali sono la base minore $b_1$, la base maggiore $b_2$ e l'altezza $h$. Il trapezio puo essere:

• scaleno se ha tutti i lati e gli angoli diversi.
• isoscele se ha i due lati obliqui uguali e gli angoli adiacenti uguali a coppia.
• rettangolo se ha tutti i lati diversi e due angoli retti.

Di seguito l'elenco delle formule del trapezio:

• Perimetro con tutti i lati noti: $P=b_1+b_2+l_1+l_2$
• Area con basi e altezza noti: $A=frac{(b_1+b_2)h}{2}$
• Base minore: $b_2=frac{2A}{h}-b_1$
• Base maggiore: $b_1=frac{2A}{h}-b_2$
• Altezza: $h=frac{2A}{b_1+b_2}$

Problemi con i quadrilateri notevoli

Esercizio sul rettangolo

In un rettangolo un lato è lungo $30 cm$; un secondo lato del rettangolo è lungo $4,5 cm$. Calcolare il perimetro e l'area del rettangolo.

Dati del problema:

• – $b=30cm$
• – $h=4,5cm$
• – $P=?quad A=?$

Calcoliamo il perimetro

$P=2b+2h=2*30+2*4,5=60+9=69cm$

Calcoliamo l'area

$A=bh=30*4,5=135cm^2$

Esercizio sul rettangolo (2)

Un lato di un rettangolo è metà del lato di un quadrato avente il perimetro di 15 cm. Sapendo che i due quadrilateri hanno lo stesso perimetro, calcolare la misura delle dimensioni del rettangolo.

Dati del problema:

Indichiamo con $l$ il lato del quadrato, $l_1$ ed $l_2$ i lati del rettangolo, $P_q$ il perimetro del quadrato e $P_r$ il perimetro del rettangolo.

• – $l_1=frac{l}{2}$
• – $P_q=P_r=15cm$
• – $l_1=?quad l_2=?$

Calcoliamo dapprima il lato del quadrato sapendo il perimetro:

$l=frac{P_q}{4}=frac{15}{4}=3,75cm$

Sapendo che $l_1$ è metà di $l$:

$l_1=frac{l}{2}=frac{3,75}{2}=1,875cm$

Adesso possiamo trovarci l'altro lato del rettangolo:

$l_2=frac{P_r-2*l_1}{2}=frac{15-2*1,875}{2}=frac{11,25}{2}=5,625cm$

Esercizio sul parallelogramma

Il perimetro di un parallelogramma è pari a $320 dm$, un lato misura $70 dm$ e l'altezza relativa a tale lato è pari ai suoi $frac{3}{2}$. Calcolare l'area del parallelogramma e la misura dell'altezza relativa all'altro lato.

Dati del problema:

• – $P=320dm$
• – $l_1=70dm$
• – $h_1=frac{3}{2}l_1$
• – $A=?quad h_2=?$

Calcoliamo l'altezza $h_1=h_2$ del parallelogramma:

$h_1=h_2=frac{3}{2}l_1=frac{3}{2}70=105dm$

Per calcolare l'area del parallelogramma dobbiamo prima trovarci la misura della base:

$b=frac{P-2*l_1}{2}=frac{320-2*70}{2}=frac{180}{2}=90dm$

Quindi, calcoliamo l'area:

$A=b*h_1=90*105=9450dm^2$

Esercizio sul rombo

Un rombo è equivalente ad un rettangolo avente perimentro pari a $105m$ e base pari a $21 m$. Calcolare la misura di una diagonale del rombo, sapendo che l'altra misura $28 m$.

Dati del problema:

• – $P_{rett}=105m$
• – $b=21m$
• – $A_{rombo}=A_{rett}$
• – $d_1=28m$
• – $d_2=?$

Calcoliamo l'altezza del rettangolo:

$h=frac{P_{rett}-2b}{2}=frac{105-2*21}{2}=frac{63}{2}=31,5m$

Possiamo calcolare l'area del rettangolo che è uguale a quella del rombo:

$A_{rombo}=A_{rett}=b*h=21*31,5=661,5m^2$

Nota l'area del rombo e una diagonale, possiamo ricavarci l'altra diagonale:

$d_2=frac{2A}{d_1}=frac{2*661,5}{28}=frac{1323}{28}=47,25m$

Esercizio sul trapezio

Un trapezio rettangolo è pari ai $frac{3}{5}$ di un quadrato avente il perimetro di $97 cm$. Sapendo che l'altezza del trapezio misura $14 cm$ e la differenza delle basi è pari a $4 cm$, calcolare l'area del rettangolo avente le dimensioni congruenti alle basi del trapezio.

Dati del problema:

• – $A_t=frac{3}{5}A_q$
• – $P_q=97cm$
• – $h_t=14cm$
• – $b_2-b_1=4cm$
• – $b_r=b_2$
• – $h_r=b_1$
• – $A_r=?$

Per prima cosa calcoliamo il lato del quadrato sapendo il perimetro:

$l=frac{P_q}{4}=frac{97}{4}=24,25cm$

Calcoliamo, quindi, l'area del quadrato:

$A_q=l^2=24,25^2=588,0625cm^2$

Sapendo che $A_t=frac{3}{5}A_q$:

$$A_t=frac{3}{5}A_q=frac{3}{5}588,0625=352,8375cm^2$

Poichè $b_2-b_1=4cm$ ricavo che $b_2=4+b_1$ e ricordando la formula per calcolare una delle basi avendo l'area, altezza e l'altra base:

$b_1=frac{2A_t}{h_t}-b_2=frac{2A_t}{h_t}-(4+b_1)=frac{2A_t}{h_t}-4-b_1$

Da cui, ricaviamo:

$b_1=frac{A_t}{h_t}-2=frac{352,8375}{14}-2=23,20cm$

Dunque dalla relazione $b_2=4+b_1$ si ha:

$b_2=4+b_1=4+23,20=27,20cm$

Possiamo, finalmente calcolare l'area del rettangolo:

$A_r=b_r*h_r=b_2*b_1=23,20*27,20=631,04cm^2$

 

Quadrilatere notevoli: Esercizi da svolgere

Risolvere i seguenti problemi

1) La base di un rettangolo misura $40 cm$, mentre l'area è pari a $100 cm^2$. Calcolare l'altezza del rettangolo.

2) Un rettangolo ed un quadrato hanno lo stesso perimetro. Il lato del quadrato è pari a $45 cm$ e le dimensioni del rettangolo sono una metà dell'altra. Calcolare l'area del rettangolo.

3) Il perimetro di un parallelogramma è pari a $320 dm$, un lato misura $70 dm$ e l'altezza relativa è pari ad $frac{1}{3}$ di tale lato. Calcolare il perimetro del quadrato equivalente ai $frac{3}{8}$ del parallelogramma e il perimetro di un rettangolo avente altezza pari a $18 dm$ ed equivalente al doppio del parallelogramma.

4) La base di un rettangolo misura $31cm$ ed è pari ai $frac{6}{12}$ della diagonale. Calcolare il perimetro e l'area di un rombo avente le diagonali congruenti alle dimensioni del rettangolo.

5) Un trapezio isoscele ed un rettangolo hanno le altezze congruenti; il lato obliquo del trapezio è di $13 cm$ e il perimetro del rettangolo è di $180 cm$. Inoltre, la differenza delle dimensioni del rettangolo è di $27 cm$. Calcolare: la misura delle basi del trapezio; la misura delle dimensioni del rettangolo; l'area del trapezio e del rettangolo.