A cura di: Francesco Speciale
Scrivere l’equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi $A(-2;1), B(4;-2)$.
Svolgimento
Calcoliamo la misura del diametro
La distanza tra due punti è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze
delle coordinate omonime dei due punti, in formule:
$d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$.
Quindi
$bar{AB}=sqrt((4+2)^2+(-2-1)^2)=sqrt(6^2+(-3)^2)=sqrt(36+9)=sqrt(45)=3sqrt5$.
Il diametro della circonferenza è uguale al doppio del suo raggio, cioè $bar{AB}=2r$.
Pertanto $r=(bar{AB})/2=(3sqrt5)/2$.
Per individuare il centro di tale circonferenza, basta individuare il punto medio del segmento $bar{AB}$.
Le coordinate del punto medio di un segmento sono le semisomme (medie aritmetiche)
delle coordinate omonime degli estremi.
Quindi indichiamo con $M$ il punto medio del segmento $bar{AB}$, le sue coordinate saranno (x_M;y_M),
dove
$x_M=(x_2+x_1)/2 ^^ y_M=(y_2+y_1)/2$.
Pertanto presi $A(-2;1), B(4;-2)$ si ha
$x_M=(4-2)/2=2/2=1 ^^ y_M=(-2+1)/2=-1/2$.
Quindi il punto medio del segmento $bar{AB}$ sarà $M(1;-1/2)$.
Quindi $c=M(1:-1/2)$.
Troviamo, quindi l’equazione della circonferenza di centro $C(1;-1/2)$ e raggio $(3sqrt5)/2$.
La circonferenza è il luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro,
è congruente a un prefissato segmento (non nullo) detto raggio.
In formule, l’equazione della circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e di raggio $r$, sarà:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Sostituiamo alla formula generale i dati a noi noti, e otteniamo:
$(x-1)^2+(y+1/2)^2=((3sqrt5)/2)^2$;
Sviluppiamo le parentesi e raccogliamo i termini simili
$x^2+1-2x+y^2+1/4+y=(45)/4$;
$x^2+y^2-2x+y+1+1/4-(45)/4=0$
Il m.c.m. è $4$
$(4x^2+4y^2-8x+4y+4+1-45)/4=0$
moltiplicando ambo i membri per $4$
$4x^2+4y^2-8x+4y-40=0$
Dividendo ambo i membri ancora per $4$
$x^2+y^2-2x+y-10=0$
quest’ultima rappresenta l’equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi $A(-2;1), B(4;-2)$.
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