$(sec(2x))/ (tg(2x)-tg(x))-1/4(1+cot^2(x))>=0$

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva la seguente disequazione

Iniziamo a definire il dominio.

Per l’esistenza della secante, tangente e cotangente, avremo rispettavamente

$2x!=pi/2+kpi->x!=pi/4+kpi/2$

$x!=pi/2+kpi$

$x!=kpi$

La prima assicura l’esistenza di $sec2x$ e $tan2x$, la seconda di $tanx$ e la terza di $cot^2x$

Passiamo ora alla disequazione e consideriamo la prima frazione. Vediamo di semplificarla

Abbiamo

$(sec2x)/(tg(2x)-tg(x))=(1/(cos(2x)))/((sin(2x))/(cos(2x))-(sinx)/(cosx))=(1/cos(2x))/((sin2xcosx-sinxcos2x)/(cos2x*cosx)$

Ora possiamo eliminare $cos2x$, portare sopra $cosx$ e apportare altre modifiche.

Abbiamo ottenuto

$(cosx)/(sin2x*cosx-sinx*cos2x)=(cosx)/(2sinxcos^2x-sinx(cos^2x-sin^2x))=(cosx)/(2sinxcos^2x-sinx*cos^2x+sin^3x)$

Abbiamo usato la bisezione e poi abbiamo moltiplicato.

Ora andando avanti

$(cosx)/(sinx*cos^2x+sin^3x)=(cosx)/(sinx(cos^2x+sin^2x))$

Ma ricordando che $sin^2x+cos^x=1$ si ha

$(cosx)/(sinx)=cotgx$

per cui l’equazione originaria diventa

$cotgx-1/4(1+cotg^2x)>=0$

ovvero

$1/4(1+cotg^2x)-cotgx<=0$

$cotg^2x-4cotgx+1<=0$

Il che comporta

$2-sqrt3<=cotgx<=2+sqrt3$ e questa è soddisfatta se $pi/12+kpi<=x<=5/12pi+kpi$

Ma osservando le condizioni dobbiamo escludere $x=pi/4+kpi/2$

FINE