$[sen(alpha+beta)sen(alpha-beta)]/(cosbeta+cosalpha)=cosbeta-cos alpha$

A cura di: Stefano Sannella

Si dimostri che vale la seguente identità goniometrica

$[sen(alpha+beta)sen(alpha-beta)]/(cosbeta+cosalpha)=cosbeta-cos alpha$

---

 

Trattiamo il primo membro: è in questo caso importante l’uso della fomula che mi consente di calcolare il valore del seno di una somma di angoli.

Usando questa nota formula sul numeratore, otteniamo

$((sin alpha cos beta+sin beta cos alpha)*(sin alpha cos beta-sin beta cos alpha))/(cosbeta+cosalpha)$

 

Ci accorgiamo però di avere una prodotto notevole (somma per differenza) e perciò possiamo scrivere direttamente, senza svolgere le parentesi,

$(sin^2 alpha cos^2 beta-sin^2 beta cos ^2alpha)/(cosbeta+cosalpha)$

 

Ora trasformiamo i vari seni al quadrato espressioni contenenti il coseno ricordando che

$sin^2theta=1-cos^2theta$

 

Procediamo

$=((1-cos^2 alpha)cos^2 beta-(1-cos^2 beta)cos^2alpha)/(cosbeta+cosalpha)$

 

Svolgendo le parentesi e sommando al numeratore ciò che possiamo si avrà

$(cos^2 beta-cos^2 alpha)/(cosbeta+cosalpha)$

 

Ma questa espressione equivale a

$((cosbeta-cosalpha)(cosalpha-cosbeta))/(cosbeta+cosalpha)$

 

e semplificando si ha

$cosbeta-cos alpha$

 

Quindi abbiamo ottenuto il secondo membro a partire dal primo, e l’identità è valida (tralasciando i casi in cui il denominatore del primo membro è zero, il che toglierebbe significato alla frazione e quindi all’identità).

 

FINE