La serie geometrica è così chiamata perchè essa compare in alcune questioni di geometria. In essa il termine generico Uk è una potenza e la serie può sia convergere che divergere; q è detta ragione della serie e lo sviluppo risulta
Uk=q^k; S=1+q+q^2+q^3+…
La serie ammette somma sotto certe condizioni, che andiamo a determinare. Sviluppiamo inizialmente la serie troncandola al termine k. Tale polinomio uguaglia l'espressione (1-q^(k+1))/(1-q)
Sk=1+q+q^2+q^3+…+q^k=(1-q^(k-1))/(1-q)
infatti, calcolando il minimo comune multiplo e semplificando (per q diverso da 1) si ottiene
(1-q)(1+q+q^2+q^3+…+q^k) = 1-q^(k-1)
1+q+q^2+q^3+…+q^k-q-q^2-q^3-…-q^(k-1) = 1-q^(k-1)
1-q^(k-1) = 1-q^(k-1)
Quando si considera la serie infinita si possono verificare due casi; se |q | > 1 i termini qk diventano infinitamente grandi e la serie diverge; se |q | < 1 i termini qk diventano infinitamente piccoli e la serie converge. In tal caso poichè quando k tende all'infinito, qk tende a 0, si ottiene
S=1+q+q^2+q^3+…+q^k+… = 1/(1-q)
Per esempio per q = 1/2 si ottiene, come promesso in precedenza,
S=1+1/2+1/4+1/8+…+(1/2)^k+… = 1/(1-1/2)=1/1/2=2
Per q = 1/3 si ottiene
S=1+1/3+1/9+1/27+…+(1/3)^k+… = 1/(1-1/3)=1/2/3=3/2.
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