Definizioni
- La sfera è un solido ottenuto dalla rotazione di un semicerchio attorno al suo diametro.
- Il raggio della sfera è il raggio del semicerchio.
- Il centro della sfera è definito come centro del semicerchio.
- La superficie sferica è invece l’insieme dei punti equidistanti $r$ dal centro della sfera.
Formule della sfera
Le formule che vengono usate negli esercizi (es. per calcolare i volume della sfera) sono le seguenti:
- Volume: $V=frac{4}{3}pi r^3$
- Superficie totale: $S_{tot}=4pi r^2$
- Raggio: $r=sqrt[3]{frac{3V}{4pi}}=sqrt{frac{S_{tot}}{4pi}}$
- Cerchio equatoriale: $S_E=pi r^2$
- Perimetro equatoriale: $2p_E=2pi r$
Esempio sulla sfera (1):
Una sfera ha il raggio di $9 cm$. Calcolare la superficie totaledella sfera data e il volume.
Per svolgere l’esercizio, basta applicare le formule sopra elencate: $$ S_{tot}=4pi r^2=4pi 9^2=1017.36cm^2 $$ $$ V=frac{4}{3}pi r^3=frac{4}{3}pi 9^3=3052.08cm^3 $$
Esempio sulla sfera (2):
Una sfera ha una superficie totale di $144pi cm^2$. Calcolare il volume della sfera data.
Sappiamo che: $$ S_{tot}=4pi r^2Rightarrow r=sqrt{frac{S_{tot}}{4pi}}=sqrt{frac{144pi}{4pi}}=6cm $$ Avendo il raggio, possiamo calcolare il volume: $$ V=frac{4}{3}pi r^3=frac{4}{3}pi 6^3=904.32cm^3 $$
Esempio sulla sfera (3):
Una sfera viene tagliata da un piano a $6 dm$ dal suo centro. La superficie ottenuta con il taglio forma un cerchio di superficie pari a $64pi dm^2$. Calcola il volume dei due segmenti sferici a una base così ottenuti.
Dati del problema:
- $d=6dm$
- $A_c=64pi dm^2$
- $V_1=?quad V_2=?$
Calcoliamo il raggio del cerchio formato: $$ r_1=sqrt{frac{A_c}{pi}}=sqrt{frac{64pi}{pi}}=8dm $$ Il volume della calotta sferica superiore è dato, quindi, da: $$ V_1=frac{frac{4}{3}pi r_1^3}{2}=frac{2}{3}pi 8^3=1071.79dm^3 $$ Calcoliamo, adesso, il raggio della sfera applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha per cateti il raggio della calotta sferica $r_1$ e la distanza dal centro $d$: $$ r=sqrt{d^2+r_1^2}=sqrt{6^2+8^2}=10dm $$ Avendo il raggio, possiamo trovare il volume della sfera: $$ V=frac{4}{3}pi r^3=frac{4}{3}pi 10^3=4186.67dm^3 $$ Essendo $V=V_1+V_2$ si ha che il volume della seconda calotta sferica è: $$ V_2=V-V_1=4186.67-1071.79=3144.88dm^3 $$
Esercizi sulla sfera
- Una sfera ha il raggio di $15 m$. Calcola la superficie totale e il volume della sfera data.
- Calcola il volume e la superficie di un emisfero che ha il diametro di $12cm$.
- Una sfera ha il raggio di $18 cm$. Calcola la superficie totale e il volume della sfera data. Calcola il volume dello spicchio e l’area della superficie del fuso sapendo che la corrispondente ampiezza è di $45°$
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