Si consideri un triangolo $ABC$ e la circonferenza ad esso circoscritta...

A cura di: Stefano Sannella

Si consideri un triangolo $ABC$ e la circonferenza ad esso circoscritta. Tracciate due altezze del triangolo $BM$ e $CN$, esse vengono prolungate fino ad intersecare la circonferenza in due punti $P$ e $Q$. Se $BC$ misura $5$. e $PQ$ misura $6$, quanto misura il raggio della circonferenza?

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Poniamo $hat{BAC}=hat{BPC}=a$
Poiché gli angoli in M ed N sono retti (per ipotesi sono i piedi delle altezze) ne segue che:
$hat{NCA}=hat{MCP}=pi/2-a$
Per il teorema della corda, applicato ai triangoli $PQC$ ed $ABC$,si ha:
$PQ=2R*sin(180°-2a)=2R*sin(2a)=4R*sin(a)cos(a)$
$BC=2R*sin(a)$ (1)
Dividendo membro a membro risulta :
$6/5=2cos(a)$ da cui $cos(a)=3/5$
Pertanto :
$sina=sqrt(1-9/(25))=4/5$ e quindi sostituendo nella (1):
$5=2R*4/5$ da cui  $R=(25)/8$

FINE