A cura di: Stefano Sannella
Si considerino i punti $A(2;-2)$ e $C(-8;3)$ .Determinare il punto B appartenente al segmento $bar{AC}$ tale che si abbia $(bar{AB})/(bar{BC})=3/2$
1° SOLUZIONE
La retta $AC$ ha equazione $x+2y+2=0$, ed è facilmente calcolabile da momento che abbiamo a disposizione due punti di passaggio.
Il punto $B$, trovandosi dunque su questa retta, ubbidisce alla sua equazione e possiamo dire che ha coordinate generiche $B=(x,(-2-x)/2)$
Il problema impone dun que
$(bar{AB})/(bar{BC})=3/2$
Ma sappiamo che, per la distanza tra due punti, possiamo scrivere
$bar{AB}=sqrt((-x+2)^2+(-2-(-2-x)/2)^2)=sqrt(5/4)|2-x|$
$bar{BC}=sqrt((x+8)^2+((-2-x)/2-3)^2)=sqrt(5/4)|x+8|$
La prima rappresenta il calcolo della distanza da $A$ a $B$, la seconda da $B$ a $C$
Per cui
$(bar{AB})/(bar{BC})=|2-x|/|x+8|=|(2-x)/(x+8)|=3/2$ col vincolo $-8<=x<=2$
Questo vincolo è necessario dal momento che i due estremi $A$ e $C$ sono fissati, e il punto $B$ si muove all’interno non potendo uscire.
L’espressione $|2-x|/|x+8|$ per $-8<=x<=2$ vale $(2-x)/(x+8)$ (si può discutere l’argomento e notare che proprio in quell’intervallo esso è positivo)
per cui l’equazione diventa:
$(2-x)/(x+8)=3/2$ da cui si ricava $x=-4$ ed $y=1$ per cui $B=(-4,1)$
2 SOLUZIONE
In realtà possiamo anche fornire una soluzione più geometrica.
Consideriamo questo schizzo.
Siano (vedi fig.) (A’,B’,C’) le proiezioni di A,B,C sull’asse x
e (A",B",C") quelle sull’asse y.
Per il teorema di Talete si ha:
$(bar{C’B’})/(bar{B’A’})=(bar{AB})/(bar{BC})$
ma poichè il rapporto tra $(bar{AB})/(bar{BC})$ vale $2/3$ per ipotesi, abbiamo
$(x+8)/(2-x)=2/3$ da cui risolvendo $x=-4$
Analogamente per l’asse y:
$(bar{C”B”})/(bar{B”A”})=(bar{AB})/(bar{BC})$ ovvero:
$(3-y)/(y+2)=2/3$ da cui risolvendo $y=1$
In definitiva $B(-4,1)$
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