A cura di: Stefano Sannella
Si dimostri la seguente identità
$sin2x-sin4x+sin6x=sin4x(2cos2x-1)$
Iniziamo ad operare sul primo membro
$sin2x-sin4x+sin6x=sin2x-sin4x+sin(4x+2x)=sin2x-sin4x+sin4xcos2x+sin2xcos4x$
Abbiamo usato la nota formula della somma.
Ora raccogliamo $sin2x$ nel primo e ultimo due addendo, e $sin4x$ negli altri due
$sin2x(1+cos4x)+sin4x(cos2x-1)$
Ricordiamo inoltre che $1+cos4x=2cos^2 2x$, perciò si ha
$sin2x(2cos^2 2x)+sin4x(cos2x-1)=$
$=2sin2xcos^2 2x+sin4x(cos2x-1)$
Ma osservando che $2sin2xcos^2 2x$ può essere scritto come $2sin2xcos2x*cos2x$ possiamo eseguire una duplicazione in questo modo
$sin4xcos2x+sin4x(cos2x-1)$
Finalmente, raccogliendo a fattor comune $sin4x$ si ottiene
$sin4x(2cos2x-1)$
che è il secondo membro dell’identità, che perciò è vera.
FINE
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