$(sin(\alpha+60^\circ)+sin(\alpha-60^\circ)-2sin(\alpha))/(cos(\alpha+60^\circ)+cos(\alpha-60^\circ)

A cura di: Francesco Speciale

Semplificare la seguente espressione
$(sin(alpha+60^circ)+sin(alpha-60^circ)-2sin(alpha))/(cos(alpha+60^circ)+cos(alpha-60^circ)-2cos(alpha))$

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$(sin(alpha+60^circ)+sin(alpha-60^circ)-2sin(alpha))/(cos(alpha+60^circ)+cos(alpha-60^circ)-2cos(alpha))=$
Tenendo presente le formule di somma e differenza del seno e del coseno:

$sin(alpha+beta)=sin(alpha)cos(beta)+cos(alpha)sin(beta)$
$sin(alpha-beta)=sin(alpha)cos(beta)-cos(alpha)sin(beta)$
$cos(alpha+beta)=cos(alpha)cos(beta)-sin(alpha)sin(beta)$
$cos(alpha-beta)=cos(alpha)cos(beta)+sin(alpha)sin(beta)$

Riferendoci alla nosta espressione avremo:
$(sin(alpha+60^circ)+sin(alpha-60^circ)-2sin(alpha))/(cos(alpha+60^circ)+cos(alpha-60^circ)-2cos(alpha))=$
$(sin(alpha)cos(60^circ)+cos(alpha)sin(60^circ)+sin(alpha)cos(60^circ)-cos(alpha)sin(60^circ)-2sin(alpha))/(cos(alpha)cos(60^circ)-sin(alpha)sin(60^circ)+cos(alpha)cos(60^circ)+sin(alpha)sin(60^circ)-2cos(alpha))=$
Semplificando
$(2sin(alpha)cos(60^circ)-2sin(alpha))/(2cos(alpha)cos(60^circ)-2cos(alpha))=$
Essendo $cos(60^circ)=1/2$, sostituendo nell’espressione otteniamo:
$(2*1/2sin(alpha)-2sin(alpha))/(2*1/2cos(alpha)-2cos(alpha))=$
$=(sin(alpha)-2sin(alpha))/(cos(alpha)-2cos(alpha))=(-sin(alpha))/(-cos(alpha))=tg(alpha)$.