$sinx+cosx=cosecx$

A cura di: Francesco Speciale

$sinx+cosx=cosecx$

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$sinx+cosx=cosecx$;
$sinx+cosx=1/(sinx)$;
Moltiplico ambo i membri per $sinx$ e ottengo
$sin^2x+cosxsinx=1$;
Ma $sin^2x=1-cos^2x$, sostituendo
$1-cos^2x+cosxsinx-1=0$;
$-cos^2x+cosxsinx=0$;
Raccogliendo
$cosx(-cosx+sinx)=0$;
Studiamo singolarmente i due blocchi, quindi deve risultare
$cosx=0 vv cosx-sinx=0$

Se $cosx=0 => x=arccos0+k(pi)=k(pi)+-90^circ$   $AA k in ZZ$.

Se $cosx-sinx=0$, risolviamo la seguete equazione
Dividendo ambo i membri per $sinx$, naturalmente con $sinx!=0$, ovvero $x!=k(pi)$, si ha
$(cosx)/(sinx)-1=0 => cotgx=1$
Pertanto $x=arccotg1+k(pi)=+-45^circ+k(pi)$ $AA k in ZZ$. 
Quindi soluzione dell’equazione iniziale sarà
$S={x=+-45^circ+k(pi), x=+-90^circ+k(pi)}$.