A cura di: Stefano Sannella
Sono date le curve di equazione
$y=(x+1)/(2x-1)$ e
$y=(4x)/(1-2x)$
Indicare con $P$ e $Q$ i punti in cui la retta $x=h$ con $h>1/2$ interseca rispettivamente le curve.
Considerato il punto $A(1;0)$ e $O(0,0)$ si traccino i triangoli $stackrel(Delta){PAO}$ e $stackrel(Delta){QAO}$
Calcolare il limite del rapporto delle due aree con $h->+infty$
Iniziamo con il trovare le coordinate di tutti i punti.
Sia $r : x=h$ con $h in mathbb{R}$ e $h > 1/2$: con questa condizione si ha che l’intersezione con la curva di equazione $y=(x+1)/(2x-1)$ è nel primo quadrante e l’intersezione con la curva di equazione $y=(4x)/(1-2x)$ è nel quarto quadrante.
Consideriamo anche l’intersezione della retta $x=h$ e l’asse delle ascisse: questa la chiameremo $K(h,0)$
Sia $P equiv (h;(h+1)/(2h-1))$ e $Q equiv (h; (4h)/(1-2h))$.
La retta $r$ è ortogonale all’asse delle ascisse, quindi il possiamo dire che il triangolo $stackrel(Delta){PAO}$ ha $OA$ come base, e $bar{PK}$ l’altezza relativa.
Sapendo che l’area è espressa come il semiprodotto della base per l’altezza, si ha che
$mathcal{A}_{POA}=bar{OA}*bar{PK}*1/2=1*(h+1)/(2h-1)*1/2=(h+1)/(2(2h-1))$.
Nel triangolo $stackrel(Delta){QOA}$ preso $OA$ come base, $QK$ ne è l’altezza relativa: si ha che
$mathcal{A}_{QOA}=bar{OA}*bar{QK}*1/2=1*|(4h)/(1-2h)|*1/2=(4h)/(2(2h-1))$
ove il modulo è giustificato da quanto prima detto a proposito della posizione dei punti intersezione.
A questo punto il limite richiesto è il seguente:
$lim_{h to +oo}(mathcal{A}_{POA})/(mathcal{A}_{QOA})=lim_{h to +oo}( (h+1)/(2(2h-1)) )/( (4h)/(2(2h-1)) )=lim_{h to +oo}frac{h+1}{4h}=[frac{+oo}{+oo}]$
La forma è indeterminata, ma trascurando l’uno al numeratore, si ottiene
$lim_{h to +oo}frac{1}{4}=frac{1}{4}$
FINE
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