$sqrt(2)[sin(pi-2x)+sen(pi/2 -2x)]+sin2(pi-2x)=1$

A cura di: Stefano Sannella

Trovare le radici che soddisfano la seguente equazione

Conosciamo delle semplici identità che possono essere facilmente verificate sulla circonferenza goniometrica.

$sin(pi-2x)=sin(2x)$

$sin(pi/2-2x)=cos(2x)$

$sin(2(pi-2x))=sin(2pi-4x)=-sin4x=-2sin(2x)cos(2x)$

ottenuta con una semplice moltiplicazione e l’uso della formula di bisezione.

Infine vale

$1=sin^2(2x)+cos^2(2x)$

Veniamo ora all’equazione, osservando che l’abbiamo trasformata usando le formule scritte di sopra

$sqrt2*(sin(2x)+cos(2x))-2sin(2x)cos(2x)-(sin^2(2x)+cos^2(2x))=0$

Ora osserviamo gli ultimi tre termini: togliendo l’ultima parentesi, otteniamo

$-2sin2xcos2x-sin^2(2x)-cos^2(2x)$

ovvero

$-(sen2x+cos2x)^2$

Perciò possiamo affermare che l’equazione diventa

$sqrt2*(sin(2x)+cos(2x))-(sin(2x)+cos(2x))^2=0$

ovvero raccogliendo a fattor comune

$(sin2x+cos2x)(sqrt2-sin2x-cos2x)=0$

che comporta quindi che una parentesi deve annullarsi

$sin2x+cos2x=0$

$sin2x+cos2x=sqrt2$

Osserviamo la prima

Ora $sin2x+cos2x=0$

Dividendo ambo i membri per $cos2x$ che non è soluzione, otteniamo

$tg2x=-1$.

che significa

$2x=3/4pi+kpi->x=3/8pi+kpi/2$

Ora invece $sin2x+cos2x=sqrt2$ è semplice perchè è vera quando $cos2x=sin2x=1/2sqrt2$ e quindi quando $2x=pi/4+2kpi->x=pi/8+kpi$.

La soluzione può essere trovata anche con il metodo grafico.

In conclusione le soluzioni sono

$x=pi/8+kpi$

$x=3/8pi+kpi/2,k in ZZ$