A cura di: Francesca Ricci
$sqrt((root(4)(7-4sqrt(3))*sqrt(2-sqrt(3)))/(sqrt(5+2sqrt(6))* sqrt(5-2sqrt(6))))=$
Svolgiamo i conti al numeratore e al denominatore: al numeratore riduciamo i due radicali allo stesso indice, mentre al denominatore portiamo tutto sotto la stessa radice e svolgiamo la moltiplicazione:
$sqrt(root(4)((7-4sqrt(3))*(2-sqrt(3))^2)/(sqrt((5+2sqrt(6))* (5-2sqrt(6)))))=$
Al numeratore si svolge il quadrato del binomio, al denominatore si risolve la moltoplicazione come somma per differenza (il quadrato del primo meno il quadrato del secondo)
$sqrt(root(4)((7-4sqrt(3))*(4+3-4sqrt(3)))/(sqrt(25-24)))=$
$sqrt(root(4)((7-4sqrt(3))*(7-4sqrt(3)))/(sqrt(1)))=$
$sqrt(root(4)((7-4sqrt(3))*(7-4sqrt(3))))=$
Possiamo scrivere $(7-4sqrt(3))*(7-4sqrt(3))$ come $(7-4sqrt(3))^2$ e semplificarlo con la radice quarta:
$sqrt(root(4)((7-4sqrt(3))^2))=$
$sqrt(sqrt(7-4sqrt(3)))=$
A questo punto, invece di ridurre i radicali allo stesso indice, per scomporre applichiamo la regola dei redicali doppi:
$sqrt(a+sqrt(b))=sqrt((a+sqrt(a^2-b))/2)+sqrt((a-sqrt(a^2-b))/2)$ $sqrt(a-sqrt(b))=sqrt((a+sqrt(a^2-b))/2)-sqrt((a-sqrt(a^2-b))/2)$
$sqrt(sqrt(7-sqrt(48)))=$
$sqrt(sqrt((7+sqrt(49-48))/2)-sqrt((7-sqrt(49-48))/2))=$
$sqrt(sqrt((7+sqrt(1))/2)-sqrt((7-sqrt(1))/2))=$
$sqrt(sqrt((7+1)/2)-sqrt((7-1)/2))=$
$sqrt(sqrt(8/2)-sqrt(6/2))=$
$sqrt(sqrt(4)-sqrt(3))=$
$sqrt(2-sqrt(3))=$
Si applica ancora la regola dei ragicali doppi:
$sqrt((2+sqrt(4-3))/2)-sqrt((2-sqrt(4-3))/2)=$
$sqrt((2+sqrt(1))/2)-sqrt((2-sqrt(1))/2)=$
$sqrt((2+1)/2)-sqrt((2-1)/2)=$
$sqrt(3/2)-sqrt(1/2)=$
Possiamo scomporre i radicali $sqrt(3/2)$ e $sqrt(1/2)$ come
$sqrt(3)/(sqrt(2))$ e $sqrt(1)/(sqrt(2))$, quindi
$sqrt(3)/(sqrt(2))-sqrt(1)/(sqrt(2))=$
$sqrt(3)/(sqrt(2))-1/(sqrt(2))=$
Sommando i due radicali otteniamo
$(sqrt(3)-1)/sqrt(2)=$
poi si razionalizza
$(sqrt(3)-1)/sqrt(2)*sqrt(2)/sqrt(2)=$
$((sqrt(3)-1)*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2))=$
$(sqrt(6)-sqrt(2))/2$
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