$sqrt(x+2)+sqrt(x+4)>sqrt(x-3)$

A cura di: Francesco Speciale

$sqrt(x+2)+sqrt(x+4)>sqrt(x-3)$

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$sqrt(x+2)+sqrt(x+4)>sqrt(x-3)$;
Per l’esistenza della disequazione deve essere:
${(x+2>=0),(x+4>=0),(x-3>=0):}$;
${(x>=-2),(x>=-4),(x>=3):}$;
L’unione delle soluzioni sarà:

 

 

 

 

 

ovvero $x>=3$.
In tale condizione i due membri sono positivi, elevando al quadrato si deve risolvere il sistema:
${((sqrt(x+2)+sqrt(x+4))^2>(sqrt(x-3))^2),(x>=3):}$;
${(x+2+x+4+2sqrt((x+2)(x+4))>x-3),(x>=3):}$;
Semplificando
${(x+9+2sqrt((x+2)(x+4))>0),(x>=3):}$;
${(sqrt((x+2)(x+4))>-(x+9)/2),(x>=3):}$;
${(sqrt(x^2+6x+8)>-(x+9)/2),(x>=3):}$;

Risolviamo adesso l’equazione con un solo radicale, tenendo sempre presente la condizione $x>=3$

$sqrt(x^2+6x+8)>-(x+9)/2$;
Essa è del tipo $sqrt(f(x))>g(x)$ quindi sarà equivalente al sistema:

${(f(x)>=0),(g(x)>0),(f(x)>[g(x)]^2):}$;
Nel nostro caso $f(x)=x^2+6x+8 ^^ g(x)=-(x+9)/2$.
Quindi la disequazione è equivalente al sistema:
${(x^2+6x+8>=0),(x^2+6x+8>(-(x+9)/2)^2),(-(x+9)/2>0):}$;
${(x^2+6x+8>=0),(x^2+6x+8>(x^2+81+18x)/4),(-x>-9):}$;
${(x^2+6x+8>=0),(4x^2+24x+32>x^2+81+18x),(x<9):}$;
${(x^2+6x+8>=0),(3x^2+6x-49>0),(x<9):}$;
Studiamo separatamente le prime due disequazioni:

1)x^2+6x+8>=0

$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(3)^2-(1*8)=9-8=1$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(-3+-sqrt1)=(-3+-1) => x_1=-4 ^^ x_2=-2$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$x<=-4 vv x>=-2$.

2)3x^2+6x-49>0

$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(3)^2-(3*(-49))=9+147=156$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(-3+-sqrt(156))/3=(-3+-2sqrt(39))/3 => x_1=(-3+2sqrt(39))/3 ^^ x_2=(-3-2sqrt(39))/3$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$x<(-3-2sqrt(39))/3 vv x>(-3+2sqrt(39))/3$.

La soluzione del sistema si otiene considerando l’intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni che lo conengono,
ricordando la condizione $x>=3$.

Pertanto $S={x>=3}$.