$(sqrtx+sqrt(x-2)-1)/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5)) ge 0$

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva

$(sqrtx+sqrt(x-2)-1)/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5)) ge 0$

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Questa disequazione va trattare studiando il comportamento di numeratore e denominatore separatamente.

Prendiamo il numeratore

$sqrtx+sqrt(x-2)-1 ge 0$.

Come dominio d’esistenza si ha

$x ge 2$

e sostituendo $x=2$ si nota che è verificata, cioè

$sqrtx+sqrt(x-2) ge 1$

Per $x>2$ è evidente che risulta verificata perchè i termini in $x$ possono solo aumentare. Quindi il numeratore è maggiore di zero per ogni valore del dominio $x ge 2$ Inoltre non potrà mai essere $=0$ perchè il dominio di esistenza lo esclude.

Ci siamo risparmiati la quadratura (bisognava effettuarne 2).

Pertanto, possiamo riassumere che il dominio coincide con l’insieme delle soluzioni, che è

$x>=2$

 

Ora passiamo al denominatore

$sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5)>0$

Il dominio è

$x ge -5$

Infatti il primo radicando risulta essere positivo per ogni $x$.

Bisogna quindi verificare quando:

$sqrt(x^2+3)>sqrt(x+5)$

Quadrando

$x^2+3>x+5$

$x^2-x-2>0$

Le radici dell’equazione associata sono

$x_(1,2)=(1+-sqrt(1+8))/2=(1+-3)/2$

$x_1=2$

$x_2=-1$

Dunque è verificata per $x le -1$ unito a $x>2$ (valori esterni).

In ogni caso dobbiamo eliminare l’intervallo $x<=1$ perchè dobbiamo tener conto del dominio del numeratore.

Perciò anche qui l’insieme delle soluzioni è

$x>2$

Ora osserviamo il quadro generale.

Il numeratore è sempre positivo, quindi la positività della frazione è assicurata solo se anche il denominatore è positivo.

In definitiva il risultato di $(sqrtx+sqrt(x-2)-1)/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5)) ge 0$ è:

$x>2$

Escludiamo il caso $x=2$ perchè il denominatore si annulla per tale valore.

 

FINE