Studiare al convergenza semplice e assoluta $\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \log(1 + \frac{1}{n})$

A cura di: Gianni Sammito

Studiare al convergenza semplice e assoluta della seguente serie a termini di segno alterno

 

$sum_{n=1}^{+infty} (-1)^n log(1 + frac{1}{n})$

 

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Dato che $1 + frac{1}{n} > 1$ $forall n in mathbb{N} setminus {0}$ allora $log(1 + frac{1}{n}) > 0$ $forall n in mathbb{N} setminus {0}$, pertanto la serie è effettivamente a termini di segno alterno.

 

Visto che

 

$1 + frac{1}{n + 1} < 1 + frac{1}{n}$ $forall n in mathbb{N} setminus {0}$

 

allora la successione ${1 + frac{1}{n}}_{n ge 1}$ è monotona decrescente, pertanto anche la successione ${log(1 + frac{1}{n})}_{n ge 1}$ è monotona decrescente, visto che il logaritmo in base $e$ è una funzione monotona crescente. Pertanto la serie proposta converge semplicemente per il criterio di Leibniz.

Per studiare la convergenza assoluta occorre considerare la serie

 

$sum_{n=1}^{+infty} |(-1)^n log(1 + frac{1}{n})| = sum_{n=1}^{+infty} |log(1 + frac{1}{n})| = sum_{n=1}^{+infty} log(1 + frac{1}{n})$

 

per quanto detto prima sulla positività di $log(1 + frac{1}{n})$ quando $n=1,2,ldots$.

Osservando che

 

$lim_{n to +infty} frac{log(1 + frac{1}{n})}{frac{1}{n}} = 1$

 

si nota che

 

$log(1 + frac{1}{n}) sim frac{1}{n}$

 

Ma

 

$sum_{n=1}^{+infty} frac{1}{n}$

 

diverge, perché è una serie armonica con esponente pari a $1$, pertanto la serie proposta non converge assolutamente per il criterio del confronto asintotico.

 

FINE