Studiare il carattere della seguene serie $sum_{n=1}^{+infty} \frac{\cos(n \frac{\pi}{2})}{n}$

A cura di: Gianni Sammito

Studiare il carattere della seguene serie

 

$sum_{n=1}^{+infty} frac{cos(n frac{pi}{2})}{n}$

 

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Osservando che

 

 

$sum_{n=1}^{+infty} frac{cos(n frac{pi}{2})}{n} = -frac{1}{2} + frac{1}{4} – frac{1}{6} + frac{1}{8} – frac{1}{10} + ldots$

 

si nota che la serie iniziale equivale a

 

$sum_{n=1}^{+infty} (-1)^n frac{1}{2n}$

 

Le ipotesi del criterio di Leibniz sono soddisfatte, dato che

 

$lim_{n to +infty} frac{1}{2n} = 0$

 

$frac{1}{2n} > frac{1}{2(n+1)}$ $forall n in mathbb{N} setminus {0}$

 

pertanto la serie converge.

 

FINE