Studiare il carattere della seguente serie $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + n}$

A cura di: Gianni Sammito

Studiare il carattere della seguente serie

 

$sum_{n=0}^{+infty} frac{2^n + 1}{3^n + n}$

 

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La serie è a termini positivi. La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, visto che

 

 

$lim_{n to +infty} frac{2^n + 1}{3^n + n} = lim_{n to +infty} (frac{2}{3})^n frac{1 + 2^{-n}}{1 + n cdot 3^{-n}} = 0 cdot 1 = 0$

 

Dato che

 

$lim_{n to +infty} frac{frac{2^n + 1}{3^n + n}}{frac{2^n}{3^n}} = lim_{n to +infty} frac{2^n + 1}{3^n + n} frac{2^{-n}}{3^{-n}} = lim_{n to +infty} frac{1 + 2^{-n}}{1 + n cdot 3^{-n}} = frac{1 + 0}{1 + 0} = 1$

 

allora $frac{2^n + 1}{3^n + n} ~ (frac{2}{3})^n$. La serie

 

$sum_{n=0}^{+infty} (frac{2}{3})^n$

 

converge perché è una serie geometrica con ragione minore in modulo di $1$, pertanto si può dire che converge anche la serie proposta per il criterio del confronto asintotico.

 

FINE