Studiare il carattere della seguente serie $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n + \ln(n)}{(n + \cos(n))^3}$

A cura di: Gianni Sammito

Studiare il carattere della seguente serie

 

$sum_{n=1}^{+infty} frac{n + ln(n)}{(n + cos(n))^3}$

 

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Il coseno è una funzione limitata fra $-1$ e $1$, pertanto $n + cos(n) > 0$ $forall n in mathbb{N} setminus {0}$. Dato che $n + ln(n) > 0$ $forall n in mathbb{N} setminus {0}$ s ipuò concludere che la serie è a termini di segno positivo.

 

Osservando che

 

$ln(n) < n quad forall n in mathbb{N} setminus {0}$

 

allora

 

$sum_{n=1}^{+infty} frac{n + ln(n)}{(n + cos(n))^3} < sum_{n=0}^{+infty} frac{n + n}{(n + cos(n))^3} = sum_{n=0}^{+infty} frac{2n}{(n + cos(n))^3}$ (1)

 

Calcolando il seguente limite, si vede che $frac{2n}{(n + cos(n))^3} ~ frac{1}{n^2}$:

 

$lim_{n to +infty} frac{frac{2n}{(n + cos(n))^3}}{frac{1}{n^2}} = lim_{n to +infty} frac{2n^3}{n^3 (1 + frac{cos(n)}{n^3})^3} = 2$

 

La serie

 

$sum_{n=1}^{+infty} frac{1}{n^2}$

 

converge, perché è una serie armonica con esponente maggiore di $1$, perciò in base a (1) si può affermare che la serie iniziale converge per il criterio del confronto.

 

FINE