Studiare il carattere della seguente serie$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n^3 - n}$

A cura di: Gianni Sammito

Studiare il carattere della seguente serie

 

$sum_{n=1}^{+infty} frac{1}{sqrt{n^3 – n}$

 

---

Dato che

 

 

$lim_{n to +infty} frac{frac{1}{sqrt{n^3 – n}}}{frac{1}{n^{frac{3}{2}}}} = lim_{n to +infty} frac{n^{frac{3}{2}}}{n^{frac{3}{2}} sqrt{1 – n^{-frac{1}{2}}}} = 1$

 

allora

 

$frac{1}{sqrt{n^3 – n}} ~ frac{1}{n^{frac{3}{2}}}$

 

La serie armonica

 

$sum_{n=1}^{+infty} frac{1}{n^{alpha}}$

 

converge per $alpha > 1$, quindi anche

 

$sum_{n=1}^{+infty} frac{1}{n^{frac{3}{2}}}$

 

di conseguenza la serie proposta converge per il criterio del contronto asintotico.

 

FINE