Studiare il carattere della seguente serie$sum_{n=1}^{+infty} \frac{\sin(n) + (-1)^n n}{n^2}$

A cura di: Gianni Sammito

Studiare il carattere della seguente serie

 

$sum_{n = 1}^{+infty} frac{sin(n) + (-1)^n n}{n^2}$

 

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La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, infatti

 

 

$lim_{n to +infty} frac{sin(n) + (-1)^n n}{n^2} = lim_{n to +infty} frac{sin(n)}{n^2} + frac{(-1)^n}{n} = 0 + 0 = 0$

 

Si considerino separatamente le seguenti due serie

 

$sum_{n=1}^{+infty} frac{sin(n)}{n^2}$ (1)

 

$sum_{n=1}^{+infty} (-1)^n frac{n}{n^2} = sum_{n=1}^{+infty} (-1)^n frac{1}{n}$ (2)

 

Si nota che (1) è una serie a termini di segno variabile. Per studiare la convergenza assoluta di tale serie occorre considerare

 

$sum_{n=1}^{+infty} |frac{sin(n)}{n^2}| = sum_{n=1}^{+infty} frac{|sin(n)|}{n^2}$ (3)

 

Dato che $|sin(n)| < 1$ $forall n in mathbb{N}$, allora (3) è maggiorata da

 

$sum_{n=1}^{+infty} frac{1}{n^2}$

 

che è una serie armonica con esponente maggiore di $1$, e quindi convergente. Di conseguenza (3) converge per il criterio del confronto, pertanto (1) converge assolutamente, quindi anche semplcimente. Si consideri ora

 

$sum_{n=1}^{+infty} (-1)^n frac{1}{n}$

 

Questa è una serie a termini di segno alterni che converge per il criterio di Leibniz, visto che

 

$lim_{n to +infty} frac{1}{n} = 0$

 

$frac{1}{n} > frac{1}{n+1}$ $forall n in mathbb{N} setminus {0}$

 

Dato che (1) e (2) converge, allora converge anche

 

$sum_{n=1}^{+infty} frac{sin(n)}{n^2} + sum_{n=1}^{+infty} (-1)^n frac{1}{n}$

 

e risulta

 

$sum_{n=1}^{+infty} frac{sin(n)}{n^2} + sum_{n=1}^{+infty} (-1)^n frac{1}{n} = sum_{n = 1}^{+infty} frac{sin(n) + (-1)^n n}{n^2}$

 

pertanto anche la serie iniziale converge.

 

FINE