Studio di funzione $f(x)=e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}$

A cura di: Stefano Sannella

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Studio della funzione $f(x)=e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}$

Trovare:

1)Il dominio

2)Eventuali intersezioni con gli assi

3)Eventuali simmetrie

4)Eventuali asintoti

5)Intervalli di crescenza e decrescenza della funzione

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1)

Osservando la funzione, si nota che bisogna solo escludere i punti per i quali si ha il denominatore nullo.

Per il resto, la funzione esponenziale

$f(t)=e^t$ è definita $foralltinRR$

Perciò si ha solo

$|x|-1!=0$

ovvero

$x!=+-1$

2)

E’ inutile cercare eventuali intersezioni con l’asse delle ascisse: infatti la funzione esponenziale è strettamente positiva in ogni punto del dominio.

Per quanto riguarda l’asse delle ordinate, si deve risolvere il sistema

${(x=0),(y=e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}):}$

Sostituendo

${(x=0),(y=e^9):}$

Quindi il punto è $A=(0,e^9)$

3)

La funzione è pari: questo implica che vi è una simmetria rispetto all’asse delle ordinate.

Si può facilmente provare la parità dal momento che risulta

$f(x)=e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}=e^{(4(-x)^2-9)/(|-x|-1)}=f(-x)$

4)

Cerchiamo eventuali asintoti verticali.

Osserviamo il comportamento della funzione negli intorni di $1$ e $-1$

$lim_(x->1^+)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->1^+)e^((4x^2-9)/(x-1))=e^((-5)/(0^+))=e^(-oo)=0^(+)$

$lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(x-1))=e^((-5)/(0^-))=e^(+infty)=+oo$

$lim_(x->-1^+)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->-1^+)e^((4x^2-9)/(-x-1))=e^((-5)/0^-)=e^(+oo)=+oo$

$lim_(x->-1^-)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->-1^-)e^((4x^2-9)/(-x-1))=e^((-5)/(0^+))=e^(-oo)=0$

Quindi $x=+-1$ asintoto verticale

Asintoti obliqui non ci sono perchè

$lim_(x->+infty)(e^((4x^2-9)/(|x|-1)))/x=lim_(x->+infty)(e^((4x^2-9)/(x-1)))/x=+infty$

$lim_(x->-infty)(e^((4x^2-9)/(|x|-1)))/x=lim_(x->-infty)(e^((4x^2-9)/(-x-1)))/x=-infty$

5)

Se $x>0$

$f'(x)=e^((4x^2-9)/(x-1))*((4x^2-8x+9)/(x-1)^2)$

per cui per $x in (0,1)$ U $(1,+infty)$, la funzione è sempre crescente

Se $x<0$

$f'(x)=e^((4x^2-9)/(-x-1))*((-4x^2-8x-9)/(-x-1)^2)$

per cui per $x in (-infty,-1)$ U $(-1,0)$ la funzione è sempre decrescente

FINE