A cura di: Stefano Sannella
E'dato il fascio di curve di equazione
$(a-1)x^2+2y^2-(5-a)x+ay+a-2=0$
Stabilire per quali valori del parametro $a$ il fascio rappresenta
1)Una circonferenza
2)Una parabola con asse verticale
3)Una parabola con asse orizzontale
4)Una retta
5)Una curva passante per l'origine
1)
Scriviamo l'equazione generale dell circonferenza
$x^2+y^2+ax+by+c=0$
Perciò, il fascio di curve rappresenta una circonferenza se e solo se i coefficienti dei termini al quadrato sono uguali.
Imponendo questa condizione, avremo
$a-1=2$
ovvero
$a=3$
Per questo valore, dal fascio si ottiene una circonferenza.
2)
Scriviamo l'equazione generale di una parabola con asse verticale
$y=ax^2+bx+c$
ovvero
$ax^2+bx+c-y=0$
Osserviamo che questo tipo di equazione non contempla un termine $y^2$.
Pertanto, occorre che nemmeno il nostro fascio abbia il termine $y$ al quadrato.
Notiamo però che non è possibile annullare $y^2$: infatti il parametro $a$ non lo influenza, l'unico parametro di $y^2$ è $2$, che pertanto resta tale; qualsiasi valore $a$ assuma, il termine $2y^2$ rimarrà.
Concludiamo dicendo che non è possibile ottenere parabole con asse verticale
3)L'equazione di una parabola a asse orizzontale è
$x=ay^2+by+c$
ovvero
$ay^2+by+c-x=0$
Il termine che non è presente è $x^2$.
Pertanto, il nostro fascio rappresenta una parabola quando
$a-1=0$
ovvero
$a=1$
4)
L'equazione generale di una retta è
$ax+by+c=0$
Affinchè il fascio contenga una retta, deve essere possibile che CONTEMPORANEAMENTE siano annullati i termini $x^2$ e $y^2$.
Ciò però non è possibile, dato che comunque un termine (quello in $y^2$) non sarà mai annullato, come mostrato nel punto 2).
5)
Come sappiamo, una curva passa per l'origine quando il termine noto è nullo.
Il nostro termine noto, parametrico, è
$a-2$
perciò se
$a-2=0$
ovvero
$a=2$
la nostra curva passa per l'origine.
FINE
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