Sui lati $bar(AB),bar(BC),bar(CA)$ di un triangolo equilatero si prendono i punti rispettivamente $E

A cura di: Francesco Speciale

Sui lati $bar(AB),bar(BC),bar(CA)$ di un triangolo equilatero si prendono i punti rispettivamente $E,F,G$ in modo
che $bar(AE)~=bar(BF)~=bar(CG)$.Dimostrare che $hat{EFG}$ è un triangolo equilatero.

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Ipotesi
$bar(AB)~=bar(BC)~=bar(CA)$
$bar(AE)~=bar(BF)~=bar(CG)$

 

 

 

 

 

 

 

 

Dimostrazione
Dobbiamo dimostare che $bar(EF)~=bar(FG)~=bar(EG)$
I triangoli $hat{AEG},hat{BEF},hat{FCG}$ sono congruenti, infatti
$bar(AE)~=bar(BF)~=bar(CG)$ per costruzione
$hatA~=hatB~=hatC$ perchè $hat{ABC}$ è un triangolo equilatero
$bar(AG)~=bar(BE)~=bar(FC)$ perchè differenza di segmenti congruenti, infatti
$bar(AG)=bar(AC)-bar(CG)$
$bar(BE)=bar(BA)-bar(AE)$
$bar(FC)=bar(BC)-bar(BF)$
Sono quindi congruenti per il primo criterio; di conseguenza hanno tutti gli elementi congruenti,
in particolare $bar(EF)~=bar(FG)~=bar(EG)$.
Pertanto il triangolo $hat{EFG}$ è equilatero.