$(tan5alpha-tan3alpha)/cosalpha=(2sinalpha)/(cos3alphacos5alpha)$

A cura di: Stefano Sannella

Si mostri la validità dell’identità seguente

Partiamo dal primo membro, cercando di ricondurci al secondo.

$(tan5alpha-tan3alpha)/cosalpha=((sin5alpha)/(cos5alpha)-(sin3alpha)/(cos3alpha))/cosalpha=$

sapendo che $tanbeta=(sinbeta)/cosbeta$

Eseguendo il denominatore comune al numeratore della frazione, si ottiene

$(sin5alphacos3alpha-sin3alphacos5alpha)/(cos5alphacos3alpha)*1/cosalpha$

il che equivale a

$(sin5alphacos3alpha-sin3alphacos5alpha)/(cosalphacos3alphacos5alpha)$

Applicando ora al numeratore la formula di Werner

$sinxcosy=1/2(sin(x+y)+sin(x-y))$

otteniamo

$(1/2(sin8alpha+sin2alpha)-1/2(sin8alpha+sin(-2alpha)))/(cosalphacos3alphacos5alpha)$

Ricordando che il seno è una funzione dispari, cioè vale

$sinx=-sin(-x)$ abbiamo che $-sin(-2alpha)=sin2alpha$

Perciò

$(1/2sin8alpha+1/2sin2alpha-1/2sin8alpha+1/2sin2alpha)/(cosalphacos3alphacos5alpha)=$

Sommando al numeratore abbiamo

$=(1/2sin2alpha+1/2sin2alpha)/(cosalphacos3alphacos5alpha)=$

$=(sin2alpha)/(cosalphacos3alphacos5alpha)=(2sinalphacosalpha)/(cosalphacos3alphacos5alpha)=$

$=(2sinalpha)/(cos3alphacos5alpha)$

Si è dunque mostrato che il primo membro è equivalente al secondo.

FINE