$tan(pi/4+alpha)=(1+sen2alpha)/(cos2alpha)$

A cura di: Stefano Sannella

Si dimostri che vale la seguente identità

$tan(pi/4+alpha)=(1+sen2alpha)/(cos2alpha)$

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Per mostrare la veridicità, operiamo per prima cosa sul primo membro

Per la formula della tangente di angoli sommati, e ricordando che

$tan(pi/4)=1$, avremo

$tan(pi/4+alpha)=(1+tan alpha)/(1-tan alpha)=$

$=frac{1+(sinalpha)/cosalpha}{1-(sinalpha)/(cosalpha)}=$

$=frac{(cosalpha+sinalpha)/(cosalpha)}{(cosalpha-sinalpha)/(cosalpha)}$

e semplificando

$(cos alpha+sin alpha)/(cos alpha-sin alpha)$

 

Trattiamo ora il secondo membro

$(1+sen2alpha)/(cos2alpha)$

Per la prima relazione fondamentale e ricordando che $sin2alpha=2sinalphacosalpha$ si ha

$(sin ^2 alpha +cos^2 alpha + 2 sin alpha cos alpha)/(cos^2 alpha-sin^2 alpha)=(sin alpha+cosalpha)^2/((cosalpha+sinalpha)(cos alpha-sin alpha))=(sin alpha+cosalpha)/(cosalpha-sinalpha)$

dopo aver ricordato la scomposizione che deriva dal prodotto notevole e la semplificazione.

 

Abbiamo mostrato che entrambi i membri sono equivalenti a una stessa forma.

 

FINE