TEOREMA DELLE PROIEZIONI. E’ un teorema che rientra nell’abito della trigonometria, ma come tutti i teoremi ha vasto utilizzo in molti campi. Partiamo dall’enunciato del teorema delle proiezioni: “In un triangolo qualsiasi ogni lato è somma dei prodotti tra ciascuno degli altri lati per il coseno dell’angolo che essi formano con il primo”.
Ovvero in formule:
a = c cosβ + b cosγ
b = a cosγ + c cosα
c = a cosβ + b cosα
Dimostrare queste identità è abbastanza semplice, vediamo la prima. Se consideriamo h l’altezza del triangolo relativa al lato a, allora il triangolo sarà diviso in due triangoli rettangoli; applicando il teorema sul triangolo rettangolo, ovvero un cateto è pari all’ipotenusa moltiplicata per il coseno dell’angolo adiacente al cateto stesso, in entrambi i triangoli (verde e giallo) e sommando i contributi avremo il lato a.
Le altre relazioni si dimostrano in modo analogo.
Si chiama appunto teorema delle proiezioni perché è come se proiettassimo due lati del triangolo sul terzo, che noi vogliamo trovare. Quindi con due lati e due angoli troviamo il terzo lato.
TEOREMA DELLE PROIEZIONI E TEOREMA DI CARNOT. Il teorema delle proiezioni è molto importante perché attraverso questo possiamo dimostrare un altro teorema fondamentale, ovvero il teorema di Carnot (o del coseno); che è una sorta di generalizzazione del teorema di Pitagora, il quale però può essere applicato a triangoli non rettangoli.
Vediamo ora un esempio di tale teorema applicato ad un semplice esercizio di fisica. Dato un sistema di forze come nella figura seguente, trovare la risultante delle forze.
Dati:
F1 = 150 N; F2 = 100 N; F3 = 90 N; α = 45°; β = 60°; γ = 60°;
Se si scompongono le singole forze di un sistema nelle rispettive componenti secondo gli assi cartesiani, la somma algebrica delle componenti delle forze lungo ciascun asse è uguale alla componente della risultante del sistema secondo lo stesso asse. Applicando ciò e il teorema delle proiezioni ho tutto quello che mi serve per trovare la risultante.
F1x=150?×cos?(45)=106,07 N
F2x=100×cos(60)=50 N
F3x=90×cos(60)=45 N
Quindi la risultante su x sarà:
Rx=F1x+F2x-F3x=111,07 N
Ora troviamo le componenti e la risultante su y:
F1y=150×cos(45)=106,07N
F2y=100×cos?(30)=? 86,60 N
F3y=90×cos?(30)?=77,94 N
Ry=F1y-F2y+F3y=97,41 N
Avendo le componenti assiali della risultante posso calcolarne il modulo con il teorema di Pitagora:
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