Il teorema di Lagrange o del valor medio dice: se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile nello stesso intervallo aperto (a,b) allora esiste un punto c all’interno dell’intervallo in cui $f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$ in sostanza il rapporto incrementale agli estremi dell’intervallo è uguale alla derivata calcolata in un punto opportuno. Geometricamente, se colleghiamo con una retta i valori estremi della funzione troveremo un punto in cui la tangente alla curva è parallela alla retta. Naturalmente è possibile che vi siano più punti in cui la tangente è parallela. Dal teorema deriva che se una funzione continua ha derivata nulla in ogni punto dell’intervallo essa è costante (infatti applicando il teorema in ogni punto la differenza fra la funzione calcolata in due punti è sempre 0). Altra conseguenza è che se due funzioni continue hanno derivata uguale in ogni punto dell’intervallo allora le due funzioni differiscono per una costante. La presenza di punti angolosi, o punti in cui la funzione va all’infinto rendono non applicabile il teorema.
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