Storicamente è sempre esistito il problema di calcolare le aree delle superfici piane. Quando queste sono particolarmente semplici esistono delle formule elementari, quando esse si complicano (in generale quando il perimetro è curvilineo) si cerca di approssimare la figura con altre di cui si sa calcolare l’area. Questo processo può però prevedere l’uso di moltissime figure note la cui somma approssima l’area voluta.
In generale è possibile approssimare qualunque area con una somma di infiniti rettangoli di uguale larghezza e di altezza pari al minimo (o il massimo) della funzione in tale intervallo. Tale valore coincide con l’area quando si prenda la larghezza dell’intervallo pari a dx e l’area del rettangolo risulta f(x)dx e la somma è sostituita dall’integrale calcolato fra gli estremi dell’intervallo considerato.
Il processo di integrazione fornisce alla fine un numero che corrisponde all’area della figura considerata. Ovviamente questo vale per funzioni continue o per funzioni che possono essere rese tali ad esempio spezzando l’intervallo di integrazione in più parti
L’integrale definito gode di alcune proprietà ovvero invertendo l’intervallo l’integrale cambia segno, se gli estremi coincidono l’integrale è nullo, l’integrale è uguale all’intervallo moltiplicato la funzione calcolata in punto opportuno (teorema della media).
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