A cura di: Stefano Sannella
Trovare gli asintoti verticali e orizzontali del grafico della seguente funzione
$y=(2-x)/(sqrt(x^2-2+x))$
Eseguiamo i limiti opportuni
Per gli asintoti verticali:
$f(x)=(2-x)/(sqrt((x+2)(x-1)))$
$lim_(x->1^+)(2-x)/(sqrt((x+2)(x-1)))=1/(0^+)=+infty$
$lim_(x->-2^-)(2-x)/(sqrt((x+2)(x-1)))=4/(0^+)=+infty$
Quindi $x=1,x=-2$ sono asintoti verticali
Occupiamoci di eventuali asintoti orizzontali
Mettendo in evidenza $x^2$ al radicando si ha
$lim_(x->+infty)(2-x)/(sqrt(x^2+x-2))=lim_(x->+infty)(2-x)/(sqrt(x^2(1+1/x-2/(x^2))))$
Portando fuori dalla radice $x^2$ mettiamo a moltiplicare la radice un $|x|$ ma poichè $xto infty$ abbiamo che $|x|=x$ pertanto $lim_(x->+infty)(2-x)/(x*sqrt(1+1/x-2/(x^2)))=lim_(x->+infty)(2-x)/x=-1$
Infatti la radice è stata omessa perchè il radicando tendeva a $1$ e inoltre si è trascurato il $2$ a numeratore, insignificante rispetto all’infinito della $x$.
Passiamo ora al limite per $xto -infty$
$lim_(x->-infty)(2-x)/(sqrt(x^2+x-2))=lim_(x->-infty)(2-x)/(sqrt(x^2(1+1/x-2/(x^2))))$
Il ragionamento è uguale al precedente, ma questa volta dobbiamo ricordare che $|x|=-x$ poichè $x<0$
$lim_(x->-infty)(2-x)/(-x*sqrt(1+1/x-2/(x^2)))=1$
Trascurando sempre il $2$ e la radice, si ottiene
$lim_(x->-infty)(-x)/(-x)=1$
quindi $y=+-1$ sono asintoti orizzontali
FINE
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