Valore del parametro tale che la funzione sia continua

A cura di: Stefano Sannella

{etRating 3} 

Per quale valore di $a$ la funzione
$f(x)={[(e^x-1)/(sen(3x)), "  per  " x > 0], [a(x+1), "  per  " x <= 0] :}$
è continua in $x=0$ ?

---

Affinché vi sia continuità, deve accadere che
$lim_(xto0)f(x)=f(0)=a(0+1)=a$
Il limite sinistro è ovviamente $a$
Calcoliamoci il limite destro
$lim_(xto0^+)f(x)=lim_(xto0^+)frac{e^x-1}{sin3x}$
Ma d’altra parte
$e^x-1approx xquad "se" quad xto0$
e
$sin3xapprox 3xquad "se"quad xto0$
quindi il limite diventa
$lim_(xto0^+)frac{e^x-1}{sin3x}=lim_(xto0^+)frac{x}{3x}=1/3$
Quindi si conclude che
$a=1/3$

FINE