Variabili aleatorie - calcolo di leggi

A cura di: Gianni Sammito

Si consideri una variabile aleatoria $X$ uniformemente distribuita nell'intervallo $[5, 10]$. Calcolare la densità di probabilità della variabile aleatoria $Y = frac{1}{X}$.

 

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La densità di probabilità di $X$ vale

 

$f_{X}(xi) = {(frac{1}{5}, "se " 5 le xi le 10),(0, "altrimenti"):}$ 

 

La densità di probabilità di $Y$ vale

 

$f_{Y}(eta) = sum_{i=1}^{m} frac{f_{X}(xi_i)}{|g'(xi_i)|}$

 

dove $Y = g(X) = frac{1}{X}$, $g(xi_1) = g(xi_2) = ldots = g(xi_m) = eta$ e $g'(x) = frac{d}{dx} g(x)$.

In questo caso risulta $eta = frac{1}{xi}$, da cui $xi = frac{1}{eta}$, per cui

 

$5 le xi le 10 implies frac{1}{10} le eta le frac{1}{5}$

 

ed inoltre $g'(x) = – frac{1}{x^2}$.

Se $eta < frac{1}{10} quad vee quad eta > frac{1}{5}$ allora $f_{Y} (eta) = 0$, dato che in tale intervallo la densità di probabilità di $X$ è nulla.

Se invece $frac{1}{10} le eta le frac{1}{5}$ risulta

 

$f_{Y}(eta) = frac{f_X(frac{1}{eta})}{|g'(frac{1}{eta})|} = frac{frac{1}{5}}{frac{1}{frac{1}{eta^2}}} = frac{1}{5 eta^2}$

 

Di conseguenza la densità di probabilità di $Y$ vale

 

$f_{Y}(eta) = {(frac{1}{5 eta^2}, "se " frac{1}{10} le eta le frac{1}{5}),(0, "altrimenti"):}$

 

Si vede che tale funzione è sempre non negativa per ogni $eta in mathbb{R}$. inoltre

 

$int_{-infty}^{+infty} f_{Y}(eta) d eta = int_{frac{1}{10}}^{frac{1}{5}} frac{1}{5 eta^2} d eta = -frac{1}{5} [frac{1}{eta}]_{frac{1}{10}}^{frac{1}{5}} = -frac{1}{5} (5 – 10) = -frac{1}{5} (-5) = 1$

FINE