$x^6+(3sqrt3 -2sqrt2)x^3-6sqrt6>0$

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva la seguente disequazione

$x^6+(3sqrt3-2sqrt2)x^3-6sqrt6>0$

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$x^6+(3sqrt3-2sqrt2)x^3-6sqrt6>0$

Posto $t=x^3$ si ha

$t^2+(3sqrt3-2sqrt2)t-6sqrt6>0$

e l’equazione associata risulta

$t^2+(3sqrt3-2sqrt2)t-6sqrt6=0$

Il discriminante risulta

$Delta=(3sqrt3-2sqrt2)^2+24sqrt6=(3sqrt3)^2-12sqrt6+(2sqrt2)^2+24sqrt6=(3sqrt3)^2+12sqrt6+(2sqrt2)^2$

e quindi nell’ultimo membro di questa catena di uguaglianze possiamo riconoscere lo sviluppo di un quadrato di binomio

$Delta = (3sqrt3+2sqrt2)^2$

Quindi le soluzioni dell’equazione associata risultano, usando la nota formula,

$t_1=(-3sqrt3+2sqrt2 + (3sqrt3+2sqrt2))/2=2sqrt2$

$t_2=(-3sqrt3+2sqrt2 – (3sqrt3+2sqrt2))/2=-3sqrt3$

Quindi la disequazione ha soluzioni

$t < -3sqrt3 quad t > 2sqrt2$

da cui, ricordando che $t=x^3$, si avrà

$x^3 < -3sqrt3 quad x^3 > 2sqrt2$

e infine

$x < -sqrt3 quad x > sqrt2$

Infatti risulta essere, usando la regola del portar dentro,

$-3sqrt3=sqrt(-27)$

e anche

$sqrt2=sqrt8$

e a questo punto è facile estrarre la radice cubica

 

Il trucco sta tutto nella manipolazione del delta. Se si cade nella tentazione di sommare i due quadrati dello sviluppo del primo quadrato di binomio si ottiene

$Delta=(3sqrt3-2sqrt2)^2+24sqrt6=27-12sqrt6+8+24sqrt6=35+12sqrt6$

che richiederebbe l’uso della formula che tratta i radicali doppi.

 

Presentiamo anche una via più semplice per risolvere la disequazione

$x^6+(3sqrt3 -2sqrt2)x^3-6sqrt6>0$

moltiplicando ottengo

$x^6+3sqrt3 x^3 -2sqrt2x^3-6sqrt6>0 $

con il raccoglimento a fattor parziale si ottiene

$(x^3+3sqrt3)*(x^3 -2sqrt2)>0$

Studio il segno dei due fattori

$x^3> -3sqrt3 –> x> -sqrt3 $

$x^3 -2sqrt2>0 –> x> sqrt2$

attraverso il grafico di studio dei segni si ottiene

$x< -sqrt3$

$x> sqrt2$

 

FINE