$((xsqrt2)/8-1-sqrt2/4):sqrt2/(x-2)+(1+1/x):(sqrt2+1)^2/x=0$

A cura di: Francesca Ricci

$((xsqrt2)/8-1-sqrt2/4):sqrt2/(x-2)+(1+1/x):(sqrt2+1)^2/x=0$

Svolgiamo le operazioni nelle parentesi tonde:

$((xsqrt2-8-2sqrt2)/8)*(x-2)/sqrt2+(x+1)/x*x/(sqrt2+1)^2=0$

Moltiplichiamo:

$(xsqrt2-8-2sqrt2)*(x-2)/8*sqrt2+(x+1)/(sqrt2+1)^2=0$

$(srqtx^2-2sqrt2x-8x+16-2sqrt2x+4sqrt2)/8sqrt2+(x+1)/(sqrt2+1)^2=0$

calcoliamo il m.c.m.

$(srqtx^2-2sqrt2x-8x+16-2sqrt2x+4sqrt2)*(sqrt2+1)^2+(8sqrt2)*(x+1)/(8sqrt2)*(sqrt2+1)^2=0$

Moltiplichiamo entrambi i membri per $(8sqrt2)*(sqrt2+1)^2$ e togliamo il denominatore:

$(8sqrt2)*(sqrt2+1)^2*(srqtx^2-2sqrt2x-8x+16-2sqrt2x+4sqrt2)*(sqrt2+1)^2+(8sqrt2)*(x+1)/(8sqrt2)*(sqrt2+1)^2=(8sqrt2)*(sqrt2+1)^2*0$

$(sqrtx^2-2sqrt2x-8x+16-2sqrt2x+4sqrt2)*(sqrt2+1)^2+(8sqrt2)*(x+1)=0$

Calcoliamo il quadrato e svolgiamo le moltiplicazioni:

$(sqrtx^2-2sqrt2x-8x+16-2sqrt2x+4sqrt2)*(2+1+2sqrt2)+(8sqrt2)*(x+1)=0$

$(sqrtx^2-2sqrt2x-8x+16-2sqrt2x+4sqrt2)*(3+2sqrt2)+(8sqrt2)*(x+1)=0$

$3sqrt2x^2-12sqrt2x-24x+48+12sqrt2+4x^2-16x-16sqrt2x+32sqrt2+16+8sqrt2x+8sqrt2=0$

$3sqrt2x^2+4x^2-20sqrt2x-40x+52sqrt2+64=0$

Effettuiamo ilraccoglimento parziale:

$(3sqrt2+4)x^2+(-20sqrt2-40)x+52sqrt2+64=0$

Possiamo scomporre questo polinomio come se fosse un'equazione trinomia completa, della forma $ax^2+bx+c=0$, dove $a=3sqrt2+4$, $b=-20sqrt2-40$ e $c=52sqrt2+64$.

$x=(-(-20sqrt2-40)pmsqrt((-20sqrt2-40)^2-4*(3sqrt2+4)*(52sqrt2+64)))/(2(3sqrt2+4))=$

$x=(20sqrt2+40)pmsqrt((800+1600+1600sqrt2-1248-768sqrt2-832sqrt2-1024))/(2(3sqrt2+4))=$

$x=(20sqrt2+40)pmsqrt(128)/(2(3sqrt2+4))=$

128 si può scomporre come $2^6*2$, quindi come $8^2*2$.

Possiamo trasportare fuori radice 8.

$x=(20sqrt2+40)pm8sqrt2/(2(3sqrt2+4))=$

$x1=(20sqrt2+40+8sqrt2)/(2(3sqrt2+4))=(28sqrt2+40)/(2(3sqrt2+4))=$

$(4(7sqrt2+10))/(2(3sqrt2+4))=(2(7sqrt2+10))/(3sqrt2+4)$

Razionalizziamo:

$(2(7sqrt2+10))/(3sqrt2+4)*(3sqrt2-4)/(3sqrt2-4)=$

$(2(7sqrt2+10)*(3sqrt2-4))/((3sqrt2+4)*(3sqrt2-4))=$

$(84+60sqrt2-80-56sqrt2)/(18-16)=$

$(4+4sqrt2)/2=$

$2(2+2sqrt2)/2=2+2sqrt2$

$x2=(20sqrt2+40-8sqrt2)/(2(3sqrt2+4))=(12sqrt2+40)/(2(3sqrt2+4))=$

$(4(3sqrt2+10)/(2(3sqrt2+4))=(2(3sqrt2+10)/(3sqrt2+4)=$

Razionalizziamo:

$(2(3sqrt2+10)/(3sqrt2+4)*(3sqrt2-4)/(3sqrt2-4)=$

$(2(3sqrt2+10)*(3sqrt2-4))/((3sqrt2+4)*(3sqrt2-4))=$

$(36-24sqrt2+60sqrt2-80)/(18-16)=$

$(36sqrt2-44)/2=$

$(2(18sqrt2-22))/2=18sqrt2-22$