A cura di: Stefano Sannella
Risolvere in campo complesso la seguente equazione
$z|z|=2z-1$
Sia $z=a+jb$
$|z|=sqrt(a^2+b^2)$ per cui l’equazione si riscrive:
$(a+jb)sqrt(a^2+b^2)=(2a-1)+2jb$ cioè
$a*sqrt(a^2+b^2)+jbsqrt(a^2+b^2)=(2a-1)+2jb$
ed uguagliando parti reali ed immaginarie si ha:
$a*sqrt(a^2+b^2)=2a-1$ e
$bsqrt(a^2+b^2)=2b$.
L’equazione $bsqrt(a^2+b^2)=2b$ ha soluzione
$b=0$ oppure $sqrt(a^2+b^2)=2$
Considerando allora $sqrt(a^2+b^2)=2$ e sostituendo in $a*sqrt(a^2+b^2)=2a-1$ si trova
$2a=2a-1$ cioè $0=-1$ il che è impossibile.
Invece se $b=0$ l’equazione diventa
$a|a|=2a-1$
Se $a>0$ l’equazione diventa $a^2-2a+1=0$ che implica $a=1$
Se $a<0$ l’equazione diventa $a^2+2a-1=0$ da cui $a=-1+-sqrt(2)$ di cui solo $a=-1-sqrt(2)$ è accettabile perchè soddisfa $a<0$
Quindi tali $z$ soddisfano l’equazione:
$z=1$ e
$z=-sqrt(2)-1$
FINE
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